Meest recent

    De Babyloniërs waren goed in wiskunde, maar niet beter dan Pythagoras

    a² + b² = c², u kent de stelling van Pythagoras misschien nog uit uw middelbare schoolcarrière. Op een Babylonisch kleitablet van 3.700 jaar oud staat dezelfde formule, en twee wiskundigen beweren nu dat het tablet gebruikt zou zijn als een rekenmiddel om tempels en paleizen te bouwen. Bewijzen zijn daar niet voor, en hun bewering dat het tablet "superieur is op sommige vlakken aan de moderne trigonometrie" en de "enige compleet accurate trigonomerische tabel" is zelfs ronduit lachwekkend.  

    De laatste tijd is er in de pers veel te doen over een Babylonisch spijkerschrifttablet dat een "wiskundig wonder" zou zijn. Maar is dat wel zo?

    Het kleitablet, met de naam Plimpton 322, is gevonden in 1921 in Irak en is zo’n 3.700 jaar oud. Het is genoemd naar George Plimpton, een rijke verzamelaar, die het tablet in 1936 schonk aan de universiteit van Columbia. Plimpton 322 staat vol getallen in Babylonisch spijkerschrift, onderverdeeld in vier kolommen en 15 rijen. Het tablet is evenwel niet volledig. De linkerkant is afgebroken.

    Sinds de jaren 40 is het geweten dat Plimton 322 nummers bevat die iets te maken hebben met de driehoeksmeting of trigonometrie, en meer bepaald met Pythagorese drietallen. Dat zijn drie getallen waarvoor de stelling van Pythagoras - in een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden (a en b) gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde (c) - opgaat. Het eenvoudigste drietal is 3, 4 en 5 want 3² + 4² = 5² (9 + 16 = 25).

    Dat de stelling van Pythagoras alleen voor de oude Grieken nieuw was, en al veel langer bekend was, is al langer geweten. De Sumeriërs, voorlopers van de Babyloniërs in Mesopotamië, kenden ze al, net zoals dus de Babyloniërs, en ook de oude Egyptenaren.

    De meest rechtse kolom op het tablet Plimton 322 bevat de getallen 1 tot 15, en is dus enkel een nummering, de twee middelste kolommen bevatten een rechtshoekzijde en de schuine zijde of hypotenusa van een Pythagorese driehoek, dus a en c in de vergelijking a² + b² = c². In de meest linkse kolom staat een verhouding tussen de kwadraten van de zijden van de driehoeken. Om welke zijden het gaat, is niet altijd duidelijk omdat er een stuk van de linkerkant van het tablet ontbreekt, maar dat maakt niet veel uit. Het gaat ofwel om het kwadraat van de hypotenusa gedeeld door het kwadraat van een andere zijde, of om het kwadraat van een rechtshoekszijde gedeeld door het kwadraat van de andere rechthoekszijde. Om het in modern wiskundig jargon te zeggen: het zijn de kwadraten van de tangens of van de secans van een hoek in de driehoek.

    Werk van een genie?

    Wetenschappers van de Universiteit van Nieuw-Zuid-Wales in Australië beweren nu dat het tablet een instrument was om tempels en paleizen te bouwen. Dat is mogelijk, maar bewijzen daarvoor zijn er niet echt. Omdat er fouten in het tablet zitten, werd er gedacht dat het wel eens een oefening van een student zou kunnen zijn, en een aantal andere onderzoekers hebben eerder al andere  functies voor het tablet voorgesteld, gaande van een pedagogisch instrument om studenten wiskunde aan te leren, tot een tablet voor origineel wiskundig onderzoek of een methode om te komen tot kwadraatsplitsen.  

    De onderzoekers, Daniel Mansfield en Norman Wildberger, proberen hun nieuwe voorstel voor het gebruik van het tablet, wel goed te verkopen. In een video bij het persartikel over hun onderzoek zegt Mansfield dat het gaat om de "meest accurate trigonometrische tabel ooit". “Dit is een zeldzaam voorbeeld van de Oudheid die ons iets nieuws leert. Dit is het werk van een genie.”

    Dat is klinkklare onzin, aangezien het tablet een aantal wel bekende fouten bevat, en dus moeilijk de "meest accurate trigonometrische tabel ooit" kan zijn. Er bestaan moderne tabellen zonder fouten. En tegenwoordig worden er computers gebruikt voor de berekeningen, en die berekenen wat je wil, tot op het aantal cijfers na de komma dat je wil, 10, 50, 200 of zelfs meer.

    En zelfs als de fouten verbeterd worden, is Plimton 322 nog niet meteen wereldschokkend. Moderne trigonometrische tabellen gaan uit van de hoeken, en geven de waarden voor 1°, 2°, 3° of 0,1°, 0,2°, 0,3° etc. De Babyloniërs vertrekken eerder vanuit de lengte van de zijden,  en geven enkel de waarden voor driehoeken die gehele getallen als lengte hebben. Dat maakt dat de verhoudingen allemaal rationale getallen zijn, maar dat betekent niet dat de Babylonische tabel beter is dan de moderne.

    60-tallig

    De tabel is gebaseerd op een 60-tallig stelsel, terwijl de moderne wiskunde rekent met een decimaal stelsel. Volgens Mansfield kan deze benadering de moderne wiskunde nog veel leren.

    Ook dat is enigszins overdreven, en lijkt vooral ingegeven door het feit dat Mansfield en Wildberger iets lijken te hebben tegen irrationele getallen, getallen met een oneindige, niet-herhalende reeks getallen na de komma.

    De bewering van Mansfield in de video dat een 60-tallig systeem veel meer "exacte breuken" heeft dan een 10-tallig, gaat vooral maar op als je zoals Mansfield 1/3 niet als exact beschouwt. Nochtans is 0,3333333... behoorlijk exact, en hebben de meeste wiskundigen er geen problemen mee. Overigens hadden de Babyloniërs in hun 60-tallig systeem geen cijfer nul, wat toch wel een ernstige handicap is.