Een wiskundeles in de Technologische Universiteit in Helsinki. Tungsten/Public domain

Ook gewone mensen houden van 'mooie', 'elegante' wiskunde

"Mooie wiskunde", bestaat dat? Voor wiskundigen en fysici zeker, een groot deel van hen vindt de vergelijkingen en formules waarmee onze landgenoot François Englert samen met de Belgisch-Amerikaanse fysicus Robert Brout het Brout-Englert-Higgs-deeltje beschreven heeft, "eleganter" en "mooier" dan die van mede-Nobelprijswinnaar Peter Higgs. En nu blijkt uit een studie dat ook gewone Amerikanen, leken op het gebied van wiskunde, wiskundige bewijzen kunnen beoordelen op hun "schoonheid", en dat ze het grotendeels met elkaar eens zijn over welk bewijs het mooiste is.

De studie door een wiskundige van de Yale University en een psycholoog aan de Britse University of Bath toont aan dat doorsnee Amerikanen wiskundige bewijzen kunnen beoordelen op schoonheid, net zoals ze dat kunnen met kunstwerken of muziekstukken.

De schoonheid die ze onderscheidden bij de wiskunde was bovendien niet eendimensionaal: aan de hand van negen criteria voor schoonheid  - zoals elegantie, ingewikkeldheid, universaliteit en dergelijke - kwamen 300 proefpersonen tot een zekere overeenstemming over de specifieke manieren waarop vier verschillende bewijzen mooi waren, en die overeenstemming oversteeg het toeval.

Dit onderzoek naar de esthetiek van wiskunde ging van start toen mede-auteur en hoogleraar wiskunde Stefan Steinerberger een bewijs dat hij aan zijn studenten aan het aanleren was, vergeleek met een "echt goede sonate van Schubert". 

"Het blijkt dat de studenten van Yale die wiskunde studeren, ook, statistisch gezien, een indrukwekkende hoeveelheid muziek maken", zei Steinerberger. "Drie of vier studenten kwamen naderhand naar me toe en vroegen: "Wat bedoelde u daarmee?" En ik besefte dat ik er geen idee van had wat ik bedoelde, maar dat het min of meer juist klonk. En dus e-mailde ik de afdeling psychologie."

Professor psychologie aan Yale, Woo-Kyoung Ahn beantwoordde de mail van  Steinerberger, en na enkele besprekingen gaf ze hem de naam van een afgestudeerde student psychologie, van wie ze dacht dat Steinerberger ermee zou kunnen opschieten.  

Een van de bewijzen, voor de som van een oneindige geometrische reeks, zoals het in de studie aan de deelnemers werd voorgesteld. Yale University

Experiment

En zo verscheen Samuel G.B. Johnson op het toneel, mede-auteur van de studie en nu hoogleraar marketing aan de University of Bath, maar op het ogenblik dat Steinerberger zijn vraag stelde, nog bezig met het afwerken van zijn doctoraat psychologie in Yale. Johnson bestudeert redeneringen en besluitvorming. "Een groot deel van mijn werk gaat over hoe mensen verschillende verklaringen en argumenten voor dingen evalueren", zo zei hij in een persbericht van Yale University.

Steinerberger zei dat Johnson onmiddellijk begreep hoe hij een experiment moest ontwerpen om te testen of we dezelfde esthetische gevoeligheden delen over wiskunde als over kunst en muziek, en of dit ook zou opgaan voor een doorsnee persoon en niet enkel voor een wiskundige zoals hijzelf. 

"Ik had wel een vaag idee, maar Sam begreep het onmiddellijk", zei Steinerberger.  "We vormden de ideale combinatie."

Voor de studie kozen ze vier wiskundige bewijzen, vier stukken voor piano en vier landschapsschilderijen. Omdat de overeenkomsten tussen wiskunde en muziek al langer bekend zijn, wilden ze de mensen ook testen met een ander esthetisch model - schilderijen in dit geval - om na te gaan of de manier waarop we esthetiek beoordelen meer universeel is, zo verklaarde Johnson.

'The Hay Wain' of 'De hooiwagen' van John Constable uit 1821, een van de vier landschapsschilderijen die in de studie gebruikt werden. Photo: The National Gallery London.

Drie groepen

Johnson verdeelde de studie in drie delen en splitste de deelnemers op in drie groepen. De eerste groep proefpersonen werd gevraagd de vier wiskundige bewijzen te matchen met de vier landschapsschilderijen, op basis van hoe "esthetisch gelijkend" ze die vonden. De tweede groep moest hetzelfde doen, maar dan met de wiskundige bewijzen en de muziekstukken, aan de derde groep vroegen de onderzoekers om de vier bewijzen en de vier kunstwerken los van elkaar te quoteren op een schaal van een tot tien, aan de hand van negen verschillende criteria, en daarnaast om een algemene score voor schoonheid toe te kennen aan de vier bewijzen en de vier kunstwerken. 

De negen criteria die de derde groep kreeg om de bewijzen en de kunstwerken te quoteren, haalden de onderzoekers uit "A Mathematician's Apology", een essay uit 1940 van de beroemde wiskundige G.H. Hardy, waarin wiskundige schoonheid besproken wordt. Hardy zelf had zes criteria, die de onderzoekers uitbreidden tot negen: ernst, universaliteit, diepgang, originaliteit, duidelijkheid, eenvoud, elegantie, ingewikkeldheid en geraffineerdheid.

Toen Steinerberger en Johnson de cijfers analyseerden die de proefpersonen in de derde groep hadden toegekend op basis van de verschillende criteria, ontdekten ze dat een hoge score voor "elegantie" het vaakst een hoge score voor "schoonheid" voorafging, zowel voor de kunstwerken als voor de wiskundige bewijzen. 

De laatste stap in de analyses was de "gelijkheidsscore" te berekenen voor de deelnemers in groep drie, een score die weergaf hoe gelijkaardig op esthetisch vlak de proefpersonen elk bewijs en elk schilderij vonden ten opzichte van elkaar, op basis van de negen criteria. Vervolgens vergeleken ze deze scores met de resultaten van de eerste groep deelnemers, aan wie gevraagd was om eenvoudigweg de bewijzen te koppelen aan de schilderijen op basis van hun eigen intuïtieve gevoel van esthetische gelijkaardigheid - wat veel gelijkenissen vertoont met de oorspronkelijke analogie van Steinerberger tussen het bewijs en "een goede sonate van Schubert".

Een van de vier landschapsschilderijen die in de studie gebruikt werden: 'Looking Down Yosemite Valley, California', dat in 1865 geschilderd werd door Albert Bierstadt.  Public domain

Aangenaam verrast

Toen de resultaten binnen kwamen, waren Steinerberger en Johnson aangenaam verrast. Ze bleken in staat om de gelijkheidsscores van de proefpersonen in de derde groep te gebruiken om te voorspellen wat de proefpersonen in de eerste groep zouden doen. De mensen in de derde groep waren het met elkaar eens over welke bewijzen en welke schilderijen er elegant waren, en de proefpersonen in de eerste groep hadden de neiging om het bewijs dat de derde groep het meest elegant vond, te matchen met het schilderij dat die groep het elegantst vond.

Leken op het gebied van wiskunde hadden niet alleen gelijkaardige intuïties over de schoonheid van wiskunde en over de schoonheid van kunst, ze hadden ook dezelfde intuïtieve opvattingen over schoonheid als de andere deelnemers aan de studie. Er was, met andere woorden, een consensus over wat iets mooi maakt, of het nu om schilderijen, muziek of wiskundige bewijzen ging. 

'Heart of the Andes', een schilderij van Frederic Edwin Church uit 1859 dat in de studie gebruikt werd. Public domain

Wiskunde toegankelijker en opwindender maken

"Ik zou graag zien dat onze studie opnieuw wordt uitgevoerd, maar dan met andere muziekstukken, andere bewijzen en andere kunstwerken", zei Steinerberger. "We hebben dit fenomeen nu aangetoond, maar we kennen er de grenzen niet van. Waar houdt het op te bestaan? Moet het klassieke muziek zijn? Moeten de schilderijen de natuurlijke wereld voorstellen, die erg esthetisch is?"

Hoewel ze erop wijzen dat ze geen specialisten zijn op het gebied van onderwijs, denken zowel Steinerberger als Johnson dat het onderzoek eventueel gevolgen zou kunnen hebben voor het wiskunde-onderwijs, vooral in het secundair onderwijs. 

"Er kunnen misschien mogelijkheden zijn om de meer abstracte, meer formele aspecten van de wiskunde toegankelijker en opwindender te maken voor studenten van die leeftijd", zei Johnson. "En dat zou nuttig kunnen zijn om meer mensen aan te moedigen voor wiskunde te kiezen."

"Als je begrijpt wat mensen mooi vinden in wiskunde, zou dat inzichten kunnen geven in hoe mensen wiskunde in de eerste plaats begrijpen en hoe ze wiskunde verwerken", voegde Steinerberger eraan toe. "Er is ook de menselijke implicatie van de vraag: Hoe denken we in werkelijkheid na over dingen als menselijke wezens? Ik denk dat we een verplichting hebben om hierrond samen te werken met psychologen."

In de studie werden als wiskundige bewijzen de som van een oneindige geometrische reeks gebruikt,  de somformule van Gauss, het duiventilprincipe en een geometrisch bewijs van een formule van Faulhaber. De muziekstukken waren "Moment Musical No.4, D 780" (Op.94) van Franz Schubert, de fuga uit "Fuga en Toccata in e klein" van Johan Sebastian Bach, de "Diabellivariaties" van Ludwig van Beethoven en "Prelude in Des" (Op.87 nr. 15) van Dmitri Sjostakovitsj. De landschapsschilderijen ten slotte waren "Looking Down Yosemite Valley, California" van Albert Bierstadt,  "A Storm in the Rocky Mountains, Mt. Rosalie" van Albert Bierstadt, "The Hay Wain" van John Constable, en "The Heart of the Andes" van Frederic Edwin Church.

De studie van Johnson en Steinerberger is gepubliceerd in Cognition. Dit artikel is gebaseerd op een persbericht van Yale University.